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题文
设函数f(x)=ln
x+1
2
+
1-x
a(x+1)
(a>0)

(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)求证:当n∈N*且n≥2时,
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
<ln n
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
f(x)=
2
x+1
-
a(x+1)+a(1-x)
a2(x+1)2
=
1
x+2
-
2
a(x+1)2
=
x-(
2
a
-1)
(x+1)2
(x>-1).
∴f(x)在(-1,
2
a
-1)
上为减函数,在(
2
a
-1,+∞)
为增函数.
∴f(x)在x=
2
a
-1
处取得极小值.
(I)由函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,∴
2
a
-1≤1
a>0
,解得a≥1.
∴实数a的取值范围是[1,+∞);
(II)由(I)可知:当a=1时,f(x)=ln
x+1
2
+
1-x
x+1
在[1,+∞),
∴当x>1时,有f(x)>f(1)=0,即ln
x+1
2
>-
1-x
x+1
(x>1)

-
1-x
x+1
=
1
n
(n≥2),则x=
n+1
n-1
>1
x+1
2
=
n
n-1

即当n≥2时,ln
n
n-1
1
n
(n≥2).
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<ln2+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n
n-1
=lnn.
据魔方格专家权威分析,试题“设函数f(x)=lnx+12+1-xa(x+1)(a>0).(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上为增..”主要考查你对  函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
考点名称:函数的单调性与导数的关系
  • 导数和函数的单调性的关系:

    (1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
    (2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。

  • 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:

    ①确定f(x)的定义域;
    ②计算导数f′(x);
    ③求出f′(x)=0的根;
    ④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)>0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)<0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。

    函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:

    若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。 

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